10 Álgebra lineal

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Esta rama de las matemáticas es esencial en una amplia gama de campos, incluyendo la ciencia, la ingeniería, la economía, las finanzas y en especial la inteligencia artificial.

10.1 Vectores

En matemáticas, un vector es un objeto que tiene magnitud y dirección. Se puede representar gráficamente como un segmento de recta orientado, o de forma algebraica como una tupla de números.

^T = \[\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ \vdots\\ n \end{bmatrix}\]

La notación para describir en que espacio se encuentra un vector, $\mathrm{v}$, puede ser algún conjunto de números como los reales, $\mathbb{R}$, y este puede tener un número $n$ de dimensiones, teniendo así:

^n$$

La magnitud de un vector es su longitud, y se puede medir en unidades de longitud, como metros, kilómetros o pies. La dirección de un vector es la dirección en la que está apuntando, y se puede especificar por un ángulo o por un punto cardinal.

10.1.1 Suma de vectores

Sean $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ dos vectores definidos por sus componentes como $\mathbf{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n)$ y $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$. La suma de estos vectores, denotada como $\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v}$, se define mediante la suma componente a componente:

r_i = u_i + v_i, i = 1, , n$$

Ejemplo

Considere los vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3$ definidos por sus componentes en el espacio tridimensional:$$

= (3, -1, 5), = (-2, 4, 1)$$

Para obtener el vector suma $\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v}$, aplicamos la definición de suma componente a componente:

\[\begin{aligned} w_1 &= u_1 + v_1 = 3 + (-2) = 1 \ w_2 &= u_2 + v_2 = -1 + 4 = 3 \ w_3 &= u_3 + v_3 = 5 + 1 = 6 \end{aligned}\]

v_2 = -1 + 4 = 3
w_3 &= u_3 + v_3 = 5 + 1 = 6 \end{aligned}$$

Por lo tanto, el vector resultante es: $$

= (1, 3, 6)$$

10.1.2 Resta de vectores

Dados dos vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$, la diferencia $\mathbf{w} = \mathbf{u} - \mathbf{v}$ se obtiene restando cada componente del segundo vector a la componente correspondiente del primero:$$

w_i = u_i - v_i, i = 1, , n$$

Geométricamente, esta operación equivale a la suma del vector $\mathbf{u}$ con el opuesto aditivo de $\mathbf{v}$.

Ejemplo

Dados los vectores $\mathbf{u} = (10, 2)$ y $\mathbf{v} = (4, 7)$ en $\mathbb{R}^2$, la diferencia $\mathbf{w} = \mathbf{u} - \mathbf{v}$ se calcula como:$$

= (10 - 4, 2 - 7) = (6, -5)$$

10.1.3 Multiplicación de un vector por un escalar

Sea $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ un vector y $\alpha \in \mathbb{R}$ un escalar. El producto del escalar por el vector, $\mathbf{w} = \alpha \mathbf{v}$, se define como el vector cuyas componentes son el producto del escalar por cada una de las componentes originales:

w_i = v_i, i = 1, , n$$

Esta operación escala la magnitud del vector y, en caso de que $\alpha < 0$, invierte su dirección.

Ejemplo

Sea el vector $\mathbf{v} = (-3, 2)$ y el escalar $\alpha = 3$. El producto escalar-vector $\mathbf{w} = \alpha \mathbf{v}$ se obtiene multiplicando cada componente de $\mathbf{v}$ por $\alpha$: $$

= 3 (-3, 2) = (3 , 3 ) = (-9, 6)$$

En este caso, el vector resultante $\mathbf{w}$ mantiene la misma dirección que $\mathbf{v}$, pero su magnitud se ha triplicado.

10.1.4 Producto escalar de dos vectores

El producto escalar (o producto punto) de dos vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ es una operación que devuelve un escalar definido por la suma de los productos de sus componentes correspondientes:

= _{i=1}^{n} u_i v_i = u_1 v_1 + u_2 v_2 + + u_n v_n$$

Alternativamente, en términos de su norma y el ángulo $\theta$ entre ellos, se expresa como $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos(\theta)$.

Ejemplo

Considere los vectores $\mathbf{u} = (2, -3, 4)$ y $\mathbf{v} = (5, 2, 1)$ en $\mathbb{R}^3$. El producto punto $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ se obtiene mediante la suma de los productos de sus componentes: $$

\[\begin{aligned} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= (2)(5) + (-3)(2) + (4)(1) \ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= 10 - 6 + 4 \ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= 8 \end{aligned}\]

dot &= 10 - 6 + 4
&= 8 \end{aligned}$$

Dado que el resultado es un número positivo, se puede inferir que el ángulo $\theta$ entre los vectores es agudo ($0^\circ \leq \theta < 90^\circ$).

10.2 Matrices

Las matrices son arreglos de filas y columnas, útiles para hacer operaciones numéricas en aplicaciones como en las matemáticas. Es común que este arreglo sea de $m$-filas y $n$-columnas, creando así un arreglo con tamaño $m \times n$:

A = \[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \ \end{bmatrix}\]

a_{21} & a_{22} & & a_{2n}
& & &
a_{m1} & a_{m2} & & a_{mn}
\end{bmatrix},$$

misma que es posible reescribir como $A = [a_{ij}]$.

10.2.1 Suma de matrices

Si tenemos dos matrices $A$ y $B$ de $m \times n$, el resultado de la suma de ambas será una matriz $m \times n$, $A + B$:

A + B = (a_{ij} + b_{ij}) = \[\begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \ \end{bmatrix}\]

a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & & a_{2n} + b_{2n}
& & &
a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & & a_{mn} + b_{mn}
\end{bmatrix}$$

es importante recordar que para realizar la operación de suma ambas matrices deben tener las mismas dimensiones de lo contrario será imposible realizar esta operación ya que como se observa la suma se realiza elemento a elemento.

10.2.2 Producto

El producto entre dos matrices solo es posible si satisface una condición y esta requiere que la primera matriz tenga un tamaño $m \times n$ y la segunda $n \times p$ (nótese que ambas comparten en sus dimensiones el valor $n$), dando como resultado a una nueva matriz con dimensiones $m \times p$; es decir, si se tienen dos matrices $A y B$ con dimensiones $2 \times 3 y 3 \times 4$ respectivamente, el resultado será una nueva matriz cuyas dimensiones serán $2 \times 4$.

AB = (a_{ij}b_{ij}) = \[\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1p}\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2p}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ c_{m1}& c_{m2}& \cdots & c_{mp}\ \end{bmatrix}\]

c_{21}& c_{22}& & c_{2p}
& & &
c_{m1}& c_{m2}& & c_{mp}
\end{bmatrix}$$

y para calcular los elementos de cada una de las filas desplazaremos de acuerdo al elemento que estemos calculado de la matriz resultante, dado por el subíndice de $c_{ij}$ donde $i$ será la fila correspondiente de $A$ y $j$ la columna correspondiente de $B$, para un primer elemento tendremos:

c_{11} = \[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ \vdots \\ b_{n1} \end{bmatrix}\]

= a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + + a_{1n}b_{n1}$$

y de esta misma forma se calcula cada uno de los elementos correspondientes de la matriz resultante de la operación de producto.

10.2.3 Matriz inversa

La inversa de una matriz cuadrada, $A$, es otra matriz cuadrada, $A^{-1}$, que satisface la siguiente ecuación $AA^{-1} = I$, siendo $I$ la matriz identidad; es decir una matriz inversa es aquella que multiplicada por la matriz original da como resultado a la matriz identidad. Para que una matriz tenga inversa el determinante de esta debe ser distinto de cero.

Algunos métodos para calcular la matriz inversa son:

Método del adjunto
Método de Gauss-Jordad
Método de Cramer

10.2.4 Matriz identidad

La matriz identidad, $I$, es una matriz de dimensiones $n \times n$, es decir es una matriz cuadrada en la que sus elementos de la diagonal principal tienen como valor unos y el resto tienen valor cero.

I = \[\begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 \end{bmatrix}\]

0&0&1 \end{bmatrix}$$

La inversa de la matriz identidad siempre será la misma matriz identidad.

10.2.5 Determinante

El determinante de una matriz cuadrada, $A$, es un numero real y este es de utilidad para calcular la distancia entre dos vectores, determinar si es que una matriz es invertible, resolver sistemas de ecuaciones lineales. Y lo podemos encontrar representado como:

det (A) = |A|$$

Algunos métodos para calcular el determinante son: la regla de Sarrus, Teorema de Laplace o método de cofactores

10.3 Ejercicios

Ejercicio

Sean los vectores $\mathbf{u} = (5, -2, 1)$ y $\mathbf{v} = (-3, 4, 7)$. Calcule el vector resultante $\mathbf{w}$ de la operación: $$

= 2 + 3$$

Ejercicio

Dado el vector $\mathbf{a} = (6, -8)$, determine el escalar $k$ tal que $k\mathbf{a}$ sea un vector unitario (es decir, que su norma sea igual a 1). Recuerde que la norma se define como $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$.

Ejercicio

Determine si los siguientes pares de vectores son ortogonales, realizando el cálculo del producto punto en cada caso:

$\mathbf{u} = (2, 3)$, $\mathbf{v} = (-6, 4)$
$\mathbf{u} = (1, -1, 2)$, $\mathbf{v} = (2, 2, 1)$

Ejercicio

Considere un triángulo cuyos vértices están definidos por los vectores posición $\mathbf{A} = (0,0)$, $\mathbf{B} = (4,0)$ y $\mathbf{C} = (2,3)$.

Encuentre los vectores que representan los lados $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
Calcule el producto punto $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Ejercicio

Dadas las siguientes matrices, $$

\end{split}$$

Calcular

Ejercicio

Usando las matrices del ejericio anterior. Hallar la transpuesta de las matrices B y F.

10.4 Espacios vectoriales

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos denominados vectores ($V$), que junto con el conjunto de escalares ($\mathbb{R}$, dado que en inteligencia artificial se suelen usar únicamente números reales) y las operaciones de suma y multiplicación por un escalar satisfacen los siguientes diez axiomas (Grossman 2007).

Suponiendo que $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in V$ y $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$:

Cerradura $$

+V,,V.$$

Conmutatividad de la suma $$

+=+.$$

Asociatividad de la suma $$

(+)+=+(+).$$

Elemento neutro aditivo $$

,V +=.$$

Inverso aditivo $$

,V, ,(-)V: +(-)=.$$

Distributividad del escalar sobre la suma de vectores $$

(+)=+.$$

Distributividad sobre la suma de escalares $$

(+)=+.$$

Asociatividad de la multiplicación escalar $$

()=().$$

Identidad escalar $$

1,=.$$

Grossman, Stanley I. 2007. Algebra lineal. Mc Graw Hill.